GEOMETRÍA ANALÍTICA
La geometría analítica es la rama de la geometría en la que las líneas rectas,
las curvas y las figuras geométricas se representan mediante expresiones
algebraicas y numéricas usando un conjunto de ejes y coordenadas. Cualquier
punto del plano se puede localizar con respecto a un par de ejes
perpendiculares dando las distancias del punto a cada uno de los ejes.
La geometría avanzó muy poco desde el final de la era griega hasta la edad
media. El siguiente paso importante en esta ciencia lo dio el filósofo y
matemático francés René Descartes, cuyo tratado El Discurso del Método,
publicado en 1637, hizo época. Este trabajo fraguó una conexión entre la
geometría y el álgebra al demostrar cómo aplicar los métodos de una disciplina
en la otra. Éste es un fundamento de la geometría analítica, en la que las
figuras se representan mediante expresiones algebraicas, sujeto subyacente en
la mayor parte de la geometría moderna
2.2 Sistemas de Coordenadas
Un sistema de coordenadas es un conjunto de valores y puntos que permiten
definir unívocamente la posición de cualquier punto de un espacio euclídeo o
más generalmente variedad diferenciable.
A continuación se han construido dos rectas reales perpendiculares entre sí en
las que el origen coincide. Esto constituye un Sistema de Coordenadas
Cartesianas ― o rectangulares ― en el plano y las rectas se llaman ejes. El eje
horizontal es el eje de las x y la recta vertical el eje de las y como se ha
señalado en el dibujo.
En este, debe ubicar un punto P en el plano. Constrúyase una recta
perpendicular al eje de las x a 130 pixeles desde el origen, al punto sobre el eje
x le llamara X. Construya también una perpendicular a 230 pixeles del origen
en el eje “y” y rotúlelo sobre el eje y como Y (230 pixeles = 2,30 unidades
gráfico).
Ubique en un plano cartesiano aproximadamente el punto X = -1,5 sobre el eje
x valor de la primera componente; y punto Y = 2 sobre el eje y o valor de la
segunda componente
2.2 Conceptos fundamentales
Sean A y B dos conjuntos de elementos. Si a cada elemento de A se le asocia
un elemento de B, entonces decimos que la asociación está definida por una
función f, de A a B y la escribiremos como f; A→B.
Por ejemplo, sea A = {1, 2, 3} y B = {a, b}. Definiremos f; A→B por el siguiente
diagrama:
1 →a, 2 →b, 3 →a
Con el elemento 1, f asocia a:____
Con el elemento 2, f asocia a: ____
Con el elemento 3, f asocia a: ____
Por lo tanto, es evidente qué la función asocia a cada elemento del conjunto B
un elemento del conjunto A
Una función puede definirse como un conjunto de pares ordenados (x, y) en
donde, x pertenece al dominio de la función e y = f(x) es la regla de
correspondencia que permite calcular la segunda componente y para cualquier
primer componente x.
2.3 Línea Recta
Una línea recta, lo mismo que cualquier curva está contenida totalmente en un
plano cartesiano, por una función de dos variables, siempre y cuando dicha
función sea capaz de expresar la condición común que satisfacen
absolutamente todos y cada uno de los puntos que constituyen dicha línea.
Por ejemplo, si pensamos en una línea recta paralela al eje de las abscisas,
necesitamos empezar por saber dónde está trazada dicha paralela, lo que en el
-3 -2 -1 O 1 2
3
1
2
3
-1
-2
-3
y
x caso de nuestra Figura 1 equivale a conocer la distancia b. Además, es muy
importante admitir que absolutamente todos los puntos de la paralela en
cuestión, cualquiera que sea la abscisa, tiene una ordenada constantemente
igual a b, razón por lo que la función representativa de esta paralela tiene que
ser y=b sin que tenga que intervenir la variable x porque para nada influye en el
valor de y. Si la constante b es positiva la paralela está situada arriba del eje de
las x y, si es negativa abajo.
La recta, o linea recta, en geometría, es el ente ideal que sólo posee una
dimensión, y contiene infinitos puntos; esta compuesta de infinitos segmentos
(el fragmento de línea más corto que une dos puntos); también se describe
como la sucesión continua e indefinida de puntos en una sola dimensión
ECUACIÓN DE LA RECTA
Tomados dos puntos de una recta, la pendiente , es siempre constante. Se
calcula mediante la ecuación:
Se puede obtener la ecuación de la recta a partir de la fórmula de la pendiente:
Esta forma de obtener la ecuación de una recta se suele utilizar cuando se
conocen su pendiente y las coordenadas de uno de sus puntos, o cuando se
conocen sólo los dos puntos, por lo que también se le llama ecuación de la
recta conocidos dos puntos, y se le debe a Jean Baptiste Biot. La pendiente m
es la tangente de la recta con el eje de abscisas.
Ecuación de la recta ordinaria Si se conoce la pendiente m, y el punto donde la recta corta al eje de
ordenadas es (0, b), podemos deducir, partiendo de la ecuación general de la
recta, y2 − y1 = m(x2 − x1):
Esta es la segunda forma de la ecuación de la recta y se utiliza cuando se
conoce la pendiente y la ordenada al origen, que llamaremos b. También se
puede utilizar esta ecuación para conocer la pendiente y la ordenada al origen
a partir de una ecuación dada.
La ecuación general de una recta es una expresión de la forma Ax+By+C=0, donde
A, B y C son números reales.
La pendiente de la recta es el coeficiente de la x una vez puesta en forma explícita
(es decir, despejada y):
By = -Ax-C -> -> la pendiente es: m = -A/
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