miércoles, 4 de junio de 2014
antecedentes de la geometria 1.2
GEOMETRÍA ANALÍTICA
La geometría analítica es la rama de la geometría en la que las líneas rectas,
las curvas y las figuras geométricas se representan mediante expresiones
algebraicas y numéricas usando un conjunto de ejes y coordenadas. Cualquier
punto del plano se puede localizar con respecto a un par de ejes
perpendiculares dando las distancias del punto a cada uno de los ejes.
La geometría avanzó muy poco desde el final de la era griega hasta la edad
media. El siguiente paso importante en esta ciencia lo dio el filósofo y
matemático francés René Descartes, cuyo tratado El Discurso del Método,
publicado en 1637, hizo época. Este trabajo fraguó una conexión entre la
geometría y el álgebra al demostrar cómo aplicar los métodos de una disciplina
en la otra. Éste es un fundamento de la geometría analítica, en la que las
figuras se representan mediante expresiones algebraicas, sujeto subyacente en
la mayor parte de la geometría moderna
2.2 Sistemas de Coordenadas
Un sistema de coordenadas es un conjunto de valores y puntos que permiten
definir unívocamente la posición de cualquier punto de un espacio euclídeo o
más generalmente variedad diferenciable.
A continuación se han construido dos rectas reales perpendiculares entre sí en
las que el origen coincide. Esto constituye un Sistema de Coordenadas
Cartesianas ― o rectangulares ― en el plano y las rectas se llaman ejes. El eje
horizontal es el eje de las x y la recta vertical el eje de las y como se ha
señalado en el dibujo.
En este, debe ubicar un punto P en el plano. Constrúyase una recta
perpendicular al eje de las x a 130 pixeles desde el origen, al punto sobre el eje
x le llamara X. Construya también una perpendicular a 230 pixeles del origen
en el eje “y” y rotúlelo sobre el eje y como Y (230 pixeles = 2,30 unidades
gráfico).
Ubique en un plano cartesiano aproximadamente el punto X = -1,5 sobre el eje
x valor de la primera componente; y punto Y = 2 sobre el eje y o valor de la
segunda componente
2.2 Conceptos fundamentales
Sean A y B dos conjuntos de elementos. Si a cada elemento de A se le asocia
un elemento de B, entonces decimos que la asociación está definida por una
función f, de A a B y la escribiremos como f; A→B.
Por ejemplo, sea A = {1, 2, 3} y B = {a, b}. Definiremos f; A→B por el siguiente
diagrama:
1 →a, 2 →b, 3 →a
Con el elemento 1, f asocia a:____
Con el elemento 2, f asocia a: ____
Con el elemento 3, f asocia a: ____
Por lo tanto, es evidente qué la función asocia a cada elemento del conjunto B
un elemento del conjunto A
Una función puede definirse como un conjunto de pares ordenados (x, y) en
donde, x pertenece al dominio de la función e y = f(x) es la regla de
correspondencia que permite calcular la segunda componente y para cualquier
primer componente x.
2.3 Línea Recta
Una línea recta, lo mismo que cualquier curva está contenida totalmente en un
plano cartesiano, por una función de dos variables, siempre y cuando dicha
función sea capaz de expresar la condición común que satisfacen
absolutamente todos y cada uno de los puntos que constituyen dicha línea.
Por ejemplo, si pensamos en una línea recta paralela al eje de las abscisas,
necesitamos empezar por saber dónde está trazada dicha paralela, lo que en el
-3 -2 -1 O 1 2
3
1
2
3
-1
-2
-3
y
x caso de nuestra Figura 1 equivale a conocer la distancia b. Además, es muy
importante admitir que absolutamente todos los puntos de la paralela en
cuestión, cualquiera que sea la abscisa, tiene una ordenada constantemente
igual a b, razón por lo que la función representativa de esta paralela tiene que
ser y=b sin que tenga que intervenir la variable x porque para nada influye en el
valor de y. Si la constante b es positiva la paralela está situada arriba del eje de
las x y, si es negativa abajo.
La recta, o linea recta, en geometría, es el ente ideal que sólo posee una
dimensión, y contiene infinitos puntos; esta compuesta de infinitos segmentos
(el fragmento de línea más corto que une dos puntos); también se describe
como la sucesión continua e indefinida de puntos en una sola dimensión
ECUACIÓN DE LA RECTA
Tomados dos puntos de una recta, la pendiente , es siempre constante. Se
calcula mediante la ecuación:
Se puede obtener la ecuación de la recta a partir de la fórmula de la pendiente:
Esta forma de obtener la ecuación de una recta se suele utilizar cuando se
conocen su pendiente y las coordenadas de uno de sus puntos, o cuando se
conocen sólo los dos puntos, por lo que también se le llama ecuación de la
recta conocidos dos puntos, y se le debe a Jean Baptiste Biot. La pendiente m
es la tangente de la recta con el eje de abscisas.
Ecuación de la recta ordinaria Si se conoce la pendiente m, y el punto donde la recta corta al eje de
ordenadas es (0, b), podemos deducir, partiendo de la ecuación general de la
recta, y2 − y1 = m(x2 − x1):
Esta es la segunda forma de la ecuación de la recta y se utiliza cuando se
conoce la pendiente y la ordenada al origen, que llamaremos b. También se
puede utilizar esta ecuación para conocer la pendiente y la ordenada al origen
a partir de una ecuación dada.
La ecuación general de una recta es una expresión de la forma Ax+By+C=0, donde
A, B y C son números reales.
La pendiente de la recta es el coeficiente de la x una vez puesta en forma explícita
(es decir, despejada y):
By = -Ax-C -> -> la pendiente es: m = -A/
La geometría analítica es la rama de la geometría en la que las líneas rectas,
las curvas y las figuras geométricas se representan mediante expresiones
algebraicas y numéricas usando un conjunto de ejes y coordenadas. Cualquier
punto del plano se puede localizar con respecto a un par de ejes
perpendiculares dando las distancias del punto a cada uno de los ejes.
La geometría avanzó muy poco desde el final de la era griega hasta la edad
media. El siguiente paso importante en esta ciencia lo dio el filósofo y
matemático francés René Descartes, cuyo tratado El Discurso del Método,
publicado en 1637, hizo época. Este trabajo fraguó una conexión entre la
geometría y el álgebra al demostrar cómo aplicar los métodos de una disciplina
en la otra. Éste es un fundamento de la geometría analítica, en la que las
figuras se representan mediante expresiones algebraicas, sujeto subyacente en
la mayor parte de la geometría moderna
2.2 Sistemas de Coordenadas
Un sistema de coordenadas es un conjunto de valores y puntos que permiten
definir unívocamente la posición de cualquier punto de un espacio euclídeo o
más generalmente variedad diferenciable.
A continuación se han construido dos rectas reales perpendiculares entre sí en
las que el origen coincide. Esto constituye un Sistema de Coordenadas
Cartesianas ― o rectangulares ― en el plano y las rectas se llaman ejes. El eje
horizontal es el eje de las x y la recta vertical el eje de las y como se ha
señalado en el dibujo.
En este, debe ubicar un punto P en el plano. Constrúyase una recta
perpendicular al eje de las x a 130 pixeles desde el origen, al punto sobre el eje
x le llamara X. Construya también una perpendicular a 230 pixeles del origen
en el eje “y” y rotúlelo sobre el eje y como Y (230 pixeles = 2,30 unidades
gráfico).
Ubique en un plano cartesiano aproximadamente el punto X = -1,5 sobre el eje
x valor de la primera componente; y punto Y = 2 sobre el eje y o valor de la
segunda componente
2.2 Conceptos fundamentales
Sean A y B dos conjuntos de elementos. Si a cada elemento de A se le asocia
un elemento de B, entonces decimos que la asociación está definida por una
función f, de A a B y la escribiremos como f; A→B.
Por ejemplo, sea A = {1, 2, 3} y B = {a, b}. Definiremos f; A→B por el siguiente
diagrama:
1 →a, 2 →b, 3 →a
Con el elemento 1, f asocia a:____
Con el elemento 2, f asocia a: ____
Con el elemento 3, f asocia a: ____
Por lo tanto, es evidente qué la función asocia a cada elemento del conjunto B
un elemento del conjunto A
Una función puede definirse como un conjunto de pares ordenados (x, y) en
donde, x pertenece al dominio de la función e y = f(x) es la regla de
correspondencia que permite calcular la segunda componente y para cualquier
primer componente x.
2.3 Línea Recta
Una línea recta, lo mismo que cualquier curva está contenida totalmente en un
plano cartesiano, por una función de dos variables, siempre y cuando dicha
función sea capaz de expresar la condición común que satisfacen
absolutamente todos y cada uno de los puntos que constituyen dicha línea.
Por ejemplo, si pensamos en una línea recta paralela al eje de las abscisas,
necesitamos empezar por saber dónde está trazada dicha paralela, lo que en el
-3 -2 -1 O 1 2
3
1
2
3
-1
-2
-3
y
x caso de nuestra Figura 1 equivale a conocer la distancia b. Además, es muy
importante admitir que absolutamente todos los puntos de la paralela en
cuestión, cualquiera que sea la abscisa, tiene una ordenada constantemente
igual a b, razón por lo que la función representativa de esta paralela tiene que
ser y=b sin que tenga que intervenir la variable x porque para nada influye en el
valor de y. Si la constante b es positiva la paralela está situada arriba del eje de
las x y, si es negativa abajo.
La recta, o linea recta, en geometría, es el ente ideal que sólo posee una
dimensión, y contiene infinitos puntos; esta compuesta de infinitos segmentos
(el fragmento de línea más corto que une dos puntos); también se describe
como la sucesión continua e indefinida de puntos en una sola dimensión
ECUACIÓN DE LA RECTA
Tomados dos puntos de una recta, la pendiente , es siempre constante. Se
calcula mediante la ecuación:
Se puede obtener la ecuación de la recta a partir de la fórmula de la pendiente:
Esta forma de obtener la ecuación de una recta se suele utilizar cuando se
conocen su pendiente y las coordenadas de uno de sus puntos, o cuando se
conocen sólo los dos puntos, por lo que también se le llama ecuación de la
recta conocidos dos puntos, y se le debe a Jean Baptiste Biot. La pendiente m
es la tangente de la recta con el eje de abscisas.
Ecuación de la recta ordinaria Si se conoce la pendiente m, y el punto donde la recta corta al eje de
ordenadas es (0, b), podemos deducir, partiendo de la ecuación general de la
recta, y2 − y1 = m(x2 − x1):
Esta es la segunda forma de la ecuación de la recta y se utiliza cuando se
conoce la pendiente y la ordenada al origen, que llamaremos b. También se
puede utilizar esta ecuación para conocer la pendiente y la ordenada al origen
a partir de una ecuación dada.
La ecuación general de una recta es una expresión de la forma Ax+By+C=0, donde
A, B y C son números reales.
La pendiente de la recta es el coeficiente de la x una vez puesta en forma explícita
(es decir, despejada y):
By = -Ax-C -> -> la pendiente es: m = -A/
antecedentes de la geometria 1.1
ANTECEDENTES HISTÓRICOS DE LA GEOMETRÍA ANALÍTICA
Los antecedentes de la geometría clásica se centraron en la orientación y en la correcta construcción de edificios. Ahora en los tiempos modernos, los conceptos geométricos se han generalizado con un alto nivel de abstracción y complejidad, y han sido sometidos a los métodos de cálculo y álgebra abstracta, de modo que muchas modernas ramas son apenas reconocibles como las descendientes de los principios de la geometría.
Los primeros grabados sobre la geometría se remontan a la época de los cavernícolas, cuando se descubrió obtusos triángulos en el antiguo Valle del Indo (Harappan), y en la antigua Babilonia alrededor del 3000 AC.
Los principios de la geometría eran una colección de principios empíricamente descubiertos en relación con las longitudes, ángulos, áreas, y volúmenes, y que fueron desarrollados para satisfacer algunas necesidades en la agrimensura, la construcción, la astronomía, y diversas artesanías. Entre estos principios, destacan algunos sorprendentemente sofisticados, que para la matemática moderna o para un matemático le pueden resultar difícil de obtener algunos de ellos sin el uso del cálculo moderno. Por ejemplo, tanto los egipcios como los babilonios eran conscientes de las versiones del teorema de Pitágoras aproximadamente 1500 años antes que Pitágoras; los egipcios tenían una fórmula correcta para el volumen de un tronco de una pirámide cuadrada; los babilonios disponían de tablas de trigonometría.
GEOMETRÍA EGIPCIA
Los antiguos egipcios conocían la forma de aproximarse al área de un círculo de la siguiente manera:
Área del círculo = [ (Diámetro) x 8/9 ]2
El problema nº 50 del papiro de Ahmes utiliza este método para obtener la superficie de un círculo de acuerdo con la norma de que el área es igual al cuadrado de 8 / 9 del diámetro del círculo. Esto supone que π es de 4 × (8 / 9) ² (3.160493 ...), con un error de poco más de 0,63 por ciento.
Este valor es ligeramente menos preciso que los cálculos de los babilonios (25 / 8 = 3,125, con un error del 0,53 por ciento), pero no fue superado hasta la llegada de Arquímedes cuya aproximación fue de 211875/67441 = 3,14163, donde había un error de poco más de 1 entre 10000 ).
En el problema 48 se usaba un cuadrado de lado de 9 unidades. Esta pieza fue cortada en forma de cuadrícula de 3x3. Los cuadrados de las diagonales fueron utilizados para hacer un octógono irregular con una superficie de 63 unidades. Esto dio un segundo valor de π de 3,111 ...
Los dos problemas juntos indicaron un rango de valores de Pi entre 3.11 y 3.16.
El problema 14 del Papiro de Moscú muestra un único ejemplo antiguo al encontrar el volumen de un tronco de una pirámide, describiendo la fórmula correcta:
En el problema 48 se usaba un cuadrado de lado de 9 unidades. Esta pieza fue cortada en forma de cuadrícula de 3x3. Los cuadrados de las diagonales fueron utilizados para hacer un octógono irregular con una superficie de 63 unidades. Esto dio un segundo valor de π de 3,111 ...
Los dos problemas juntos indicaron un rango de valores de Pi entre 3.11 y 3.16.
El problema 14 del Papiro de Moscú muestra un único ejemplo antiguo al encontrar el volumen de un tronco de una pirámide, describiendo la fórmula correcta:
V = 1/3 * h(X12 + X1*X2 + X22)
GEOMETRÍA BABILONIA
Los babilonios conocían las normas generales para la medición de áreas y volúmenes. Se medía la circunferencia de un círculo como tres veces el diámetro lo que sería correcto si π fuese estimado como valor 3. El volumen de un cilindro se tomó como el producto de la base y la altura, sin embargo, el volumen del tronco de un cono o una pirámide cuadrada fue tomada incorrectamente como el producto de la altura y la mitad de la suma de las bases.
El teorema de Pitágoras era también conocido por los babilonios. Los babilonios también son conocidos por la milla babilónica, que fue una medida de distancia igual a siete millas actuales.
GEOMETRÍA INDIA
Periodo Harappan:
Las primeras pruebas y antecedentes de la utilización de las matemáticas en el sur de Asia se encuentra en los artefactos de la civilización del Valle Indus , también llamada Harappan , durante el 3er milenio aC. Las excavaciones en Harapa, Mohenjo-Daro (en la actual Pakistán), Lothal (en la actual India) y otros lugares a lo largo del valle del río Indus han descubierto pruebas de la utilización de las matemáticas. Estos pueblos fabricaban ladrillos cuyas dimensiones eran de la proporción 4:2:1, considerado favorable para la estabilidad de una estructura de ladrillo. Utilizaron un sistema normalizado de pesos sobre la base de los ratios: 1 / 20, 1 / 10, 1 / 5, 1 / 2, 1, 2, 5, 10, 20, 50, 100, 200, y 500, con la unidad peso que tiene aproximadamente 28 gramos.
martes, 3 de junio de 2014
Euclides y axioma
EUCLIDES
Matemático griego. Poco se conoce a ciencia cierta de la
biografía de Euclides, pese a ser el matemático más famoso de la Antigüedad. Es
probable que se educara en Atenas, lo que permitiría explicar su buen
conocimiento de la geometría elaborada en la escuela de Platón, aunque no
parece que estuviera familiarizado con las obras de Aristóteles.
Euclides enseñó en Alejandría, donde alcanzó un gran
prestigio en el ejercicio de su magisterio durante el reinado de Tolomeo I
Zóster; se cuenta que éste lo requirió para que le mostrara un procedimiento
abreviado para acceder al conocimiento de las matemáticas, a lo que Euclides
repuso que no existía una vía regia para llegar a la geometría (el epigrama,
sin embargo, se atribuye también a Maneco como réplica a una demanda similar
por parte de Alejandro Magno).
AXIOMA
Un axioma es una proposición que se considera «evidente» y
se acepta sin requerir demostración previa. En un sistema hipotético-deductivo
es toda proposición no deducida (de otras), sino que constituye una regla
general de pensamiento lógico (por oposición a los postulados).
En lógica y matemáticas, un axioma es una premisa que, por
considerarse evidente, se acepta sin demostración, como punto de partida para
demostrar otras fórmulas. Tradicionalmente los axiomas se eligen de las
consideradas «afirmaciones evidentes», porque permiten deducir las demás
fórmulas.
En lógica un postulado es una proposición no necesariamente
evidente: una fórmula bien formada (planteada) de un lenguaje formal utilizada
en una deducción para llegar a una conclusión.
En matemática se distinguen dos tipos de proposiciones:
axiomas lógicos y postulados
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